เศษส่วน Brownian เคลื่อนไหว เคลื่อนไหว ค่าเฉลี่ย

เศษส่วน Brownian เคลื่อนไหว เคลื่อนไหว ค่าเฉลี่ย

An- แนะนำ ต่อ หุ้น และ ตัวเลือก เดวิด   Weekley
Ad -forex- BT
Forex- ซื้อขาย ทำกำไร ธุรกิจ


Forex -E- 730 Forex- บริษัท ใน ประเทศไซปรัส Bollinger วง -Mark- Deaton Erlang ซื้อขาย ระบบ Forex- รายการ สัญญาณ บ่งชี้ Binary ตัวเลือก กลยุทธ์ -UK

แรงประมาณของการเคลื่อนไหว Brownian บางส่วนโดยการย้ายค่าเฉลี่ยของการเดินแบบสุ่มอย่างง่าย Pl Rvsz เนื่องในโอกาสวันเกิดปีที่ 65 Tams Szabados ภาควิชาคณิตศาสตร์ University of Budapest, Egry u 20-22, H p. V em บูดาเปสต์, 1521, ฮังการีวันที่ 19 ธันวาคม พ.ศ. 2542 แก้ไขเมื่อวันที่ 29 สิงหาคม พ.ศ. 2543 ได้รับการยอมรับเมื่อวันที่ 4 กันยายน พ.ศ. 2543 มีวางจำหน่ายในวันที่ 9 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2544 การเคลื่อนไหวของ Brownian เป็นส่วนหนึ่งของการเคลื่อนไหวของ Brownian โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อต้องพึ่งพาอาศัยในระยะยาว แนะนำอย่างชัดเจนคือ Mandelbrot และ Van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) เป็นกระบวนการ Gaussian ที่คล้ายคลึงกัน W (H) (t) ที่มีการหยุดนิ่ง ที่นี่ความคล้ายคลึงกันของตัวเองหมายความว่าเมื่อ H (0,1) เป็นพารามิเตอร์ Hurst ของการเคลื่อนไหว Brownian บางส่วน FB. Knight ได้สร้างการเคลื่อนไหว Brownian แบบธรรมดาขึ้นโดยใช้การสุ่มแบบสุ่มในปี 1961 หลังจากนั้นวิธีการของเขาก็ง่ายขึ้นโดย Rvsz (Random Walk ใน Random และ Non-Random Environments, World Scientific, Singapore, 1990) และจาก Szabados (Studia Sci. คณิตศาสตร์ฮุง 31 (1996) 249297) วิธีนี้ค่อนข้างเป็นธรรมชาติและเป็นพื้นฐานและดังนั้นจึงสามารถขยายไปสู่สถานการณ์ทั่วไปได้มากขึ้น จากที่นี่เราใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของลำดับที่ซ้อนกันที่เหมาะสมของการเดินแบบสุ่มอย่างง่ายซึ่งเกือบจะสม่ำเสมอไปรวมกันเป็นเศษส่วนของการเคลื่อนไหว Brownian เมื่อ compacts เมื่อ อัตราการลู่เข้าที่ได้รับการพิสูจน์ในกรณีนี้คือโดยที่ N คือจำนวนขั้นตอนที่ใช้สำหรับการประมาณ หากมีความแม่นยำมากขึ้น (แต่ก็ซับซ้อนมากขึ้น) Komls et al. (1975,1976) ถูกใช้แทนการสุ่มเดินแบบสุ่มเข้าสู่การเคลื่อนที่ของ Brownian ธรรมดาจากนั้นจะเคลื่อนที่แบบเดียวกันเกือบเท่า ๆ กันไปรวมกันเป็นเศษส่วนของการเคลื่อนที่ Brownian บน compacts สำหรับ H (0,1) นอกจากนี้อัตราการลู่เข้ายังคาดว่าจะดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ การเคลื่อนที่ของเศษส่วน Brownian การสร้าง Pathwise การประมาณค่าการเคลื่อนที่แบบสุ่มการเคลื่อนที่โดยเฉลี่ย 1 การเคลื่อนที่แบบเศษส่วน Brownian การเคลื่อนไหวของ Brownian บางส่วนเป็นลักษณะทั่วไปของการเคลื่อนไหว Brownian ธรรมดา (BM) โดยเฉพาะเมื่อการพึ่งพาอาศัยในระยะยาวเป็นสิ่งจำเป็น แม้ว่าประวัติความเป็นมาของ fBM จะถูกตรวจสอบย้อนกลับไปยัง Kolmogorov (1940) และอื่น ๆ การแนะนำอย่างชัดเจนของมันคือ Mandelbrot และ van Ness (1968) ความตั้งใจของพวกเขาคือการกำหนดตัวเองที่คล้ายกัน (Gaussian) ที่มีการเคลื่อนที่แบบ stationary แต่ไม่เพิ่มขึ้นเองและมีเส้นทางตัวอย่างอย่างต่อเนื่อง a.s. ที่นี่ความคล้ายคลึงกันของตัวเองหมายความว่าสำหรับ gt0 ใด ๆ ที่ H (0,1) เป็นพารามิเตอร์ Hurst ของ fBM และแสดงถึงความเสมอภาคในการกระจาย พวกเขาแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้เป็นลักษณะของ FBM กรณีที่ลดลงเป็น BM ธรรมดาโดยเพิ่มขึ้นทีละเล็กทีละน้อยในขณะที่กรณี (resp.) ให้ค่าที่เพิ่มขึ้นเชิงลบ (resp บวก) ดู Mandelbrot and van Ness (1968) ดูเหมือนว่าในการใช้งาน fBM กรณีที่ใช้บ่อยที่สุด Mandelbrot และ Van Ness (1968) ให้การแสดงออกอย่างชัดเจนต่อไปนี้ของ fBM เป็นค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของสามัญ แต่สองด้าน BM: ที่ 0 และ (x) max (x, 0) ความคิดของ (2) เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงเศษส่วนที่เป็นตัวบ่งชี้ ซึ่งมีประวัติศาสตร์ที่ยาวนานกว่า fBM จะกลับไปที่ Liouville, Riemann และอื่น ๆ ดูใน Samko et al. (1993) กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อฟังก์ชัน f ต่อเนื่องและจำนวนเต็มบวกจะได้รับ จากนั้นการปฐมนิเทศด้วยการผสมผสานตามส่วนต่างๆสามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นคำสั่งที่มีการใช้ตัวทำซ้ำ (หรือลำดับ) ของ f ในทางตรงกันข้ามที่สำคัญนี้เป็นที่กำหนดไว้สำหรับค่าบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเช่นกันซึ่งในกรณีนี้มันสามารถเรียกได้ว่าเป็นเศษส่วนของ f ดังนั้น heuristically ส่วนหลักของ (2) เป็นลำดับความสำคัญของ (ในสามัญสำนึกที่ไม่มีอยู่จริง) กระบวนการเสียงสีขาว W (t) ดังนั้น fBM W (H) (t) สามารถถือเป็นการเปลี่ยนแปลงที่คงที่ของเศษส่วน W (t) ของกระบวนการเสียงสีขาวที่ 2 การเดินแบบสุ่มของการเคลื่อนที่แบบ Brownian เป็นเรื่องที่น่าสนใจว่าการก่อสร้าง BM ธรรมดาตามธรรมชาติโดยมีขีด จำกัด ของการเดินแบบสุ่ม (RWs) ปรากฏว่าค่อนข้างช้า ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของ BM เริ่มขึ้นในปี 1900 โดยมีผลงานของ Bachelier, Einstein, Smoluchowski และอื่น ๆ การก่อสร้างอาคารแห่งแรกที่ได้รับจาก Wiener 1921 และ Wiener 1923 ซึ่งตามมาด้วยอีกหลายแห่งในภายหลัง อัศวิน (1961) แนะนำการก่อสร้างครั้งแรกโดยการเดินแบบสุ่มที่ง่ายต่อเนื่องโดย Rvsz (1990) ผู้เขียนในปัจจุบันโชคดีพอที่จะได้ยินเรื่องนี้จากการก่อสร้างโดยตรงจาก Pl Rvsz ในการสัมมนาที่มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งบูดาเปสต์เมื่อสองปีก่อนที่จะมีการตีพิมพ์หนังสือ Rvszs ในปีพ. ศ. 2533 และได้หลงใหลในเรื่องนี้โดยทันที ผลของความพยายามที่จะทำให้ง่ายขึ้นก็ปรากฏตัวขึ้นใน Szabados (1996) จากนี้การแสดงออกของ RW จะอ้างถึงเวอร์ชันที่กล่าวถึงในภายหลัง มันเป็น asymptotically เทียบเท่ากับการใช้ Skorohod (1965) ฝังเพื่อหาลำดับชั้นที่ซ้อนกันของ RWs ใน BM ดูทฤษฎีบท 4 ใน Szabados (1996) ดังนั้นจึงมีข้อดีและข้อเสียบางประการเมื่อเทียบกับค่าประมาณที่เป็นไปได้ที่ดีที่สุดที่มีชื่อเสียงโด่งดังจาก BM ของผลรวมบางส่วนของตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันกำเนิดโมเมนต์ จำกัด ที่มีต้นกำเนิด หลังได้รับโดย Komls 1975 และ Komls 1976 และจะเป็นตัวย่อในการประมาณ KMT ในภาคต่อ ข้อดีหลักของการก่อสร้าง RW คือการใช้งานเบื้องต้นอย่างชัดเจนใช้ค่าในอดีตที่ผ่านมาในการสร้างสิ่งใหม่และใช้งานง่ายในทางปฏิบัติและเหมาะสำหรับการประมาณค่าของค่าคงที่ stochastic ดูทฤษฎีบทที่ 6 ใน Szabados (1996) และ Szabados ( 1990) จำได้ว่าการประมาณค่าของ KMT สร้างผลรวมบางส่วน (เช่นสมมาตรแบบสมมาตรที่เรียบง่าย) จาก BM เอง (หรือจากลำดับ i.i.d ของตัวแปรมาตรฐานปกติมาตรฐาน) โดยลำดับที่ซับซ้อนของการแปลงค่าเชิงปริมาณแบบมีเงื่อนไข สร้างมูลค่าใหม่ที่ใช้ในลำดับทั้งหมด (ค่าในอดีตและในอนาคตด้วย) ในขณะที่ความอ่อนแอที่สำคัญของการก่อสร้างของ RW คือการให้อัตราการลู่เข้าขณะที่อัตราการประมาณของ KMT เป็นไปได้มากที่สุดโดยที่ N คือจำนวนขั้นตอนที่พิจารณาใน RW ในตอนแรกเราจะสรุปคุณสมบัติหลักของการก่อสร้าง RW ข้างต้น จากนั้นการก่อสร้าง RW นี้จะใช้เพื่อกำหนดค่าประมาณใกล้เคียงกับ (2) ของ fBM ด้วยการย้ายค่าเฉลี่ยของ RW การรวมกันและข้อผิดพลาดของการประมาณนี้จะกล่าวถึงต่อไป ผลที่ตามมาของคุณสมบัติการประมาณค่าที่ค่อนข้างอ่อนแอของการก่อสร้างของ RW การรวมกันของ fBM จะมีขึ้นเฉพาะสำหรับและอัตราการลู่เข้าจะไม่ดีเท่าที่ควร เพื่อชดเชยเรื่องนี้ในตอนท้ายของบทความนี้เราจะหารือเกี่ยวกับสมบัติการลู่เข้าและข้อผิดพลาดของการก่อสร้างที่คล้ายกันของ fBM ที่ใช้การประมาณของ KMT แทนซึ่งจะ converges สำหรับ H ทั้งหมด (0,1) และอัตราการลู่เข้าที่สามารถคาดคะเนได้ ที่ดีที่สุดเมื่อประมาณ fBM โดยการย้ายค่าเฉลี่ยของ RWs การก่อสร้างของบีเอ็มดับบลิวที่นี่สรุปได้จาก Szabados (1996) เราเริ่มต้นด้วยเมทริกซ์อนันต์ของ i.i.d ตัวแปรสุ่ม X m (k), กำหนดไว้ในพื้นที่ความน่าจะเป็นพื้นฐานเดียวกัน แต่ละแถวของเมทริกซ์นี้เป็นพื้นฐานของการประมาณของ BM ที่มีขั้นตอนการทำขั้นบันไดบางอย่าง t 2 2 m ในเวลาและขนาดขั้นตอนที่สอดคล้องกัน x 2 เมตรในพื้นที่แสดงในตารางต่อไป ขั้นตอนที่สองของการก่อสร้างคือการบิด จากการสุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม (เช่นจากแถวในตารางที่ 1) เราต้องการสร้างกลุ่มที่พึ่งพาอาศัยกันเพื่อที่ว่าหลังจากการลดขนาดของขั้นตอนชั่วคราวและเชิงพื้นที่แล้วแต่ละ RW ที่ต่อเนื่องจะกลายเป็นการปรับแต่งของลำดับก่อนหน้า เราจะกำหนดเวลาหยุดโดย T m (0) 0 และสำหรับ k 0 นี่เป็นเวลาสุ่มเมื่อ RW เข้าชมจำนวนเต็มที่แตกต่างจากที่ก่อนหน้านี้ หลังจากหดตัวลดลงครึ่งหนึ่งการปรับเปลี่ยนที่เหมาะสมของ RW นี้จะไปที่จำนวนเต็มเดียวกันในลำดับเดียวกับก่อนหน้านี้ RW เราจะดำเนินการในแต่ละจุดของพื้นที่ตัวอย่างตัวอย่างเช่นเรากำหนดเส้นทางตัวอย่างของแต่ละ RW ที่ปรากฏในตารางที่ 1 ดังนั้นแต่ละสะพาน S m (T m (k 1)) S m (T m (k)) ต้องเลียนแบบขั้นตอนที่สอดคล้องกัน x m 1 (k 1) ของ RW ก่อนหน้า เรากำหนด twisted RWs เป็น recursive สำหรับ m 1,2,3 โดยใช้เริ่มต้นด้วย (n 0) กับแต่ละ m คงที่เราดำเนินการสำหรับ k 0,1,2, ต่อเนื่องและทุก n ในสะพานที่เกี่ยวข้อง, T m (k) lt n T m (k 1) สะพานใด ๆ พลิกกลับถ้าสัญญาณของมันแตกต่างจากที่ต้องการ (รูปที่ 1 รูปที่ 2 และรูปที่ 3): แล้ว จากนั้นแต่ละ (n 0) ยังคงเป็นแบบสมมาตรที่เรียบง่ายดูเล็มม่า 1 ใน Szabados (1996) นอกจากนี้ RW ที่บิดมีคุณสมบัติการปรับแต่งที่ต้องการ: ขั้นตอนสุดท้ายของการก่อสร้าง RW กำลังหดตัว เส้นทางตัวอย่างของ (n 0) สามารถขยายไปยังฟังก์ชันต่อเนื่องได้ด้วยการสอดแทรกเชิงเส้น วิธีนี้ได้รับ (t 0) สำหรับ t จริง จากนั้นเราจะกำหนดค่าประมาณ mth ของ BM (ดูรูปที่ 4) โดยเปรียบเทียบสามขั้นตอนของเส้นทางตัวอย่างของการประมาณครั้งแรก B 0 (t) และส่วนที่คล้ายกันของการประมาณที่สอง B 1 (t) ในรูปที่ 1 และรูปที่ 1 (แตกต่างจากก่อนหน้า) ในลำดับเดียวกันเป็นครั้งแรกเพื่อเลียนแบบครั้งแรก แต่เวลาที่สอดคล้องกันในเวลาโดยทั่วไป: 2 2 T 1 (k) k. ในทำนองเดียวกัน (3) หมายถึงคุณสมบัติการปรับแต่งทั่วไป แต่มีความล่าช้าตามเวลาโดยทั่วไป แนวคิดพื้นฐานของการก่อสร้าง RW ของ BM คือความล่าช้าในเวลาเหล่านี้จะกลายเป็นขนาดเล็กเท่ากันหากได้รับขนาดใหญ่พอ สามารถพิสูจน์ได้ด้วยคำแทรกง่ายๆดังต่อไปนี้ ตารางที่ 1 การตั้งค่าเริ่มต้นสำหรับการก่อสร้าง RW ของ BM ไม่น่าแปลกใจสิ่งนี้และสมบัติการปรับแต่ง (5) บ่งชี้ถึงความใกล้เคียงกันของ BM สองอย่างต่อเนื่องถ้า m มีขนาดใหญ่พอ บทแทรกนี้ช่วยให้แน่ใจได้ว่า a.s สม่ำเสมอของการประมาณ RW ในช่วงเวลาที่กะทัดรัดและเป็นที่ชัดเจนว่าขั้นตอนการ จำกัด เป็นกระบวนการ Wiener (BM) กับเส้นทางตัวอย่างอย่างต่อเนื่องเกือบแน่นอน ทฤษฎีบท 1 ประมาณของ RW a. convereness สม่ำเสมอเป็นกระบวนการ Wiener ในช่วงเวลาที่กะทัดรัดใด ๆ สำหรับใด ๆ และสำหรับ m m 2 (C) ใด ๆ เรามีผลลัพธ์ที่ยกมาข้างต้นสอดคล้องกับบทแทรก 2 บทแทรก 3 และบทแทรก 4 และทฤษฎีบท 3 ใน Szabados (1996) เรากล่าวถึงว่าแถลงการณ์ที่นำเสนอในที่นี้มีรูปแบบที่คมชัดขึ้นบ้าง แต่สามารถอ่านได้ง่ายจากหลักฐานในการอ้างอิงข้างต้น การประมาณค่าสัมบูรณ์ของการเคลื่อนที่ของบราวน์การสร้าง pathway ของ fBM แบบแทบจะเป็นไปได้ที่ Carmona และ Coutin (1998) แทน fBM เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของกระบวนการ Gaussian แบบอนันต์ อีกทางหนึ่งคือการก่อสร้างโดย Decreusefond และ stnel 1998 และ Decreusefond และ stnel 1999 ซึ่ง converges ในความรู้สึกของ L2 การก่อสร้างนี้ใช้การประมาณค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของ fBM (2) โดยสิ้นเชิง ขึ้นอยู่กับพาร์ทิชัน deterministic ของแกนเวลา ยิ่งไปกว่านั้น (2) จะถูกแทนที่โดยปริพันธ์ในช่วงเวลาที่มีขนาดกะทัดรัด 0, t แต่มีเคอร์เนลที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชัน hypergeometric ด้วย การประมาณค่าของ fBM ที่กล่าวถึงในที่นี้ก็จะเป็นรูปแบบการเคลื่อนที่โดยเฉลี่ยแบบไม่ต่อเนื่อง (2) ของ fBM แต่พาร์ทิชันแบบทวิภาคีจะถูกนำมาใช้บนแกนเชิงพื้นที่ของ BM ดังนั้นจึงได้รับพาร์ทิชันแบบสุ่มบนแกนเวลา นี่คือ asymptotically ฝังแบบ Skorohod ของ RW ที่ซ้อนกันใน BM เป็นผลให้แทนของอินทิกรัลเราได้ผลรวมและ BM ถูกแทนที่ด้วยชุดลำดับการกลั่นที่ซ้อนกันของการประมาณ RW ที่กล่าวถึงในส่วนก่อนหน้า เนื่องจาก (2) มี BM สองด้านเราจำเป็นต้องมี 2 ลำดับดังนี้: หนึ่งสำหรับด้านขวาและอีกอันหนึ่งสำหรับแกนครึ่งซ้าย จากนี้ไปเราจะใช้สัญญณ์ต่อไปนี้: m 0 คือจำนวนเต็ม t 2 2 m . การประมาณเคอร์เนลการประมาณค่าของ fBM ตามนิยามคือ B m (H) (0) 0 และสำหรับจำนวนเต็มบวก k ซึ่งมีการใช้อนุสัญญา 0 H 12 0 กับเลขยกกำลังเชิงลบ เป็นประโยชน์ในการเขียน B m (H) ในรูปแบบอื่นโดยใช้การรวมกันแบบแยกส่วนโดยส่วนต่างๆ เริ่มต้นด้วย (8) และจัดเรียงใหม่ตาม B m (tr) เราได้รับสำหรับ k 1 ว่าด้วยวิธีนี้เราได้รับเวอร์ชันแยกกันซึ่งเป็นสิ่งที่ได้มาจาก (2) โดยใช้การผนวกรวมอย่างเป็นทางการตามส่วนต่างๆ (c. บทแทรก 5 ด้านล่าง) เพื่อสนับสนุนความหมายข้างต้นเราแสดงให้เห็นว่า B m (H) มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกับสมบัติการกำหนดลักษณะของ fBM ในการตั้งค่าแบบแยกส่วน (a) B m (H) เป็นศูนย์กลาง (ชัดเจนจากคำนิยาม) และมีการเพิ่มทีละคงที่ ถ้า k 0 และ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแล้ว (แทน u r k 0) (b) B m (H) มีความคล้ายคลึงกันโดยประมาณในแง่ต่อไปนี้: ถ้า a 2 2 m 0 โดยที่ m 0 เป็นจำนวนเต็ม m 0 m จากนั้นสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนเต็มใด ๆ ที่ ka เป็นจำนวนเต็มอีกตัวหนึ่งด้วยว่าในทางกลับกันเล็มม่า 4 (และทฤษฎีบท 2) แสดงให้เห็นว่า B m (H) และ B m 1 (H) (และ B mn ( H)) มีความใกล้เคียงสม่ำเสมอกับความน่าจะเป็นขนาดใหญ่โดยพลการในช่วงเวลาที่มีขนาดกะทัดรัดถ้า m มีขนาดใหญ่พอ (เมื่อ) มันอาจจะได้รับการพิสูจน์ในแบบเดียวกับที่ j โดยที่ j 0 เป็นจำนวนเต็มจำนวนเต็ม 2 2 n 2 2 (n 1) มีจำนวนเต็ม n 0 การกระจายมิติมิติ จำกัด สามารถทำโดยพลการได้ใกล้เคียงกับการแจกแจงมิติที่แน่นอนของ B m n (H) ถ้า m มีขนาดใหญ่พอ ดังนั้น B m (H) โดยพลการใกล้เคียงกันสำหรับการเขียนทับถมใด ๆ j 2 2 m 0 ถ้า m มีขนาดใหญ่พอ (c) สำหรับ 0 lt t 1 ltlt t n. การกระจายวงเงินของเวคเตอร์เป็น m คือ Gaussian ที่ไหน ความจริงข้อนี้มาจากทฤษฎีบท 2 (อ้างอิงจากบทแทรก 5) ด้านล่างระบุว่ากระบวนการ Bm (H) เกือบจะ converges กับกระบวนการ Gaussian W (H) ในช่วงเวลาที่กะทัดรัด 4 การรวมกันของการประมาณกับ fBM ในตอนแรกจะแสดงให้เห็นว่ามีการประมาณ fBM ติดต่อกันสองครั้งที่กำหนดโดย (8) หรือเทียบเท่าด้วย (9) มีขนาดเท่ากันถ้า m มีขนาดใหญ่เพียงพอสมมติว่า เห็นได้ชัดว่าการประมาณ RW ข้างต้นของ BM ไม่ดีพอที่จะมีการลู่เข้า เมื่อพิสูจน์การบรรจบกันความแตกต่างของค่าเบี่ยงเบนขนาดใหญ่ที่คล้ายกับเล็มม่า 1 จะมีบทบาทสำคัญ ถ้า X 1, X 2 เป็นลำดับของ i.i.d ตัวแปรสุ่ม, และ S r a r X r. ซึ่งไม่ใช่ทั้งหมดเป็นศูนย์และจากนั้น (ดูเช่น Stroock, 1993, หน้า 33) ผลรวมข้างต้นอาจเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนมากหรือหลายข้อ ผลที่ตามมาถ้า S 1, S 2, SN เป็นผลบวกของประเภทข้างต้นเราสามารถหาแบบอนาล็อกของเล็มม่า 1 ต่อไปนี้ได้สำหรับ C 1 และ N 1 ดังนั้นการใช้ (19) จึงได้ผลลัพธ์ที่มี ยกเว้นชุดของความน่าจะเป็นที่มากที่สุด 2 (K 2 2 m) 1 C ที่ไหนและ C gt1 เป็นของโดยพลการ (d) สูงสุด U ม., k เราแบ่งครึ่งบรรทัดเป็นช่วงเวลาของความยาว L ที่ L 4 K สำหรับความชัดเจนให้เลือก L 4 K นอกเหนือจากนี้ส่วนนี้จะคล้ายกับส่วน (b) ในส่วนต่อไปเราจะใช้อนุสัญญาว่าเมื่อขีด จำกัด ล่างของจำนวนเต็มเป็นจำนวนจริง x ผลรวมเริ่มต้นที่ x และในทำนองเดียวกันถ้าขีด จำกัด บนคือ y ผลรวมสิ้นสุดลงที่ y โดย (17) เล็มม่า 3 ให้ขอบเขตบนสำหรับความแตกต่างสูงสุดระหว่างสองค่าประมาณต่อเนื่องของ BM ถ้า j 1 เป็นค่าคงที่โดยพลการใด ๆ ยกเว้นชุดของความน่าจะเป็นที่มากที่สุด 3 (jL 2 2 m) 1 C โดยที่ C gt1 เป็นแบบสุ่มและ m m 1 (C) นี่แสดงถึงทุกๆ C 3 และ 1 มม. (C) ว่าความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว (24) จะถือพร้อมกันสำหรับทุก j 1,2,3 ยกเว้นส่วนที่เป็นความน่าจะเป็นที่มากที่สุดสำหรับปัจจัยสำคัญอื่น ๆ ใน (23) ไบโอเมียล (เช่นเดียวกับในส่วน (b)) เฉพาะเมื่อ: สำหรับ C 3 และ 1 มม. (C) ใด ๆ ยกเว้นอย่างใดอย่างหนึ่งดังต่อไปนี้กับและ v 1: ในกรณีที่สองเมื่อวิธีการด้านบนเห็นได้ชัดว่าการรวมกันที่นี่ ชุดของความน่าจะเป็นที่มากที่สุด (K 2 2 m) 1 C ตอนนี้เราสามารถรวมผลลัพธ์ของส่วน (a) (d) ดู (18) (20) (21) (22) (27) และ (28) เพื่อให้ได้คำแถลงของบทแทรก โปรดจำไว้ว่าอัตราการลู่เข้าในส่วน (a) และ (c) จะเร็วกว่าส่วนที่ (b) และ (d) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสังเกตว่ามีปัจจัย m (b) และ (d) ซึ่งมีคู่ m 12 ใน (a) และ (c) เนื่องจากในแถลงการณ์ของบทแทรกนี้เราจะแทนที่ปัจจัยที่มาบรรจบกันได้เร็วกว่าคนบรรจุกที่ช้าลงตัวคูณคงที่ใน (a) และ (c) สามารถถูกละเว้นได้ถ้า m มีขนาดใหญ่พอ ง่ายมากที่จะขยายสูตร (9) ของการประมาณ m B (H) ของ fBM ให้เป็นอาร์กิวเมนต์จริงโดยการสอดแทรกเชิงเส้นเช่นเดียวกับในกรณีของการประมาณค่า Bm (t) ของ BM ทั่วไปเช่น ใน Szabados (1996) ดังนั้นให้ m 0 และ k 0 เป็นจำนวนเต็ม 0,1 และกำหนดจากนั้นการประมาณค่าพารามิเตอร์อย่างต่อเนื่องของ fBM B m (H) (t) (t 0) มีเส้นทางตัวอย่างแบบต่อเนื่อง piecewise ด้วยคำนิยามนี้เราพร้อมที่จะระบุผลลัพธ์หลักของเอกสารฉบับนี้ ที่ไหน (H, K) และเหมือนกับในบทแทรก 4. (กรณีอธิบายโดยทฤษฎีบท 1) ยกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด 8 (K 2 2 m) 1 C เนื่องจากทั้งสอง B m 1 (H) (t) และ B m (H) (t) มีเส้นทางตัวอย่างเชิงเส้น piecewise ความแตกต่างสูงสุดของพวกเขาต้องเกิดขึ้นที่จุดยอดของเส้นทางตัวอย่าง ให้ M m หมายถึงการเพิ่มขึ้นสูงสุดของ B m (H) ระหว่างคู่ของจุด t k, t k 1 ใน 0, K: ยกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด 2 (K 2 2 m) 1 C cf เลย (31) ด้านล่าง เส้นทางตัวอย่างของ B m 1 (H) (t) ทำสี่ขั้นตอนในช่วง t k, t k 1 ในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนสูงสุดจาก D m มันก็เพียงพอที่จะประมาณการเปลี่ยนแปลงระหว่างจุดกึ่งกลางและจุดสิ้นสุดของช่วงดังกล่าวได้สองก้าวจากจุดสิ้นสุดทั้งซ้ายและขวา: ยกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด 2 (K 2 2. (m 1)) 1 C ดังนั้นยกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด คำอธิบายข้างต้นแสดงให้เห็นว่าในเวลาเดียวกันนี้จะให้ขอบเขตบนที่เรากำลังมองหายกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด (82 32 C) (K 2 2 m) 1 C จากนั้นอาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันสามารถนำมาใช้เช่นเดียวกับในหลักฐานข้อเขียน 4 ดูเช่น ส่วน (a) นั่น: จากนั้นใช้ N K 2 2 m และ C gt 1 ใน (12) และใช้ (19) มากเกินไปสำหรับ m 1 ด้วยข้อยกเว้นของความน่าจะเป็นที่มากที่สุด 2 (K 2 2 m) 1 C โดยที่ K gt0 และ cg1 เป็นของโดยพลการ ยกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด 8.125 (K 2 2 m) 1 C ซึ่ง (H, K) และ (H) เหมือนกับในเล็มม่า 4. จำได้ว่าอัตราการลู่เข้าใน (31) เช่นเดียวกับในส่วน (a) และ (c) ของหลักฐานข้อที่ 4 เร็วกว่าส่วนที่ (b) และ (d) ของหลักฐานดังกล่าว นอกเหนือจากตัวคูณคงที่ผลลัพธ์ของ (31) มีรูปแบบเช่นเดียวกับผลลัพธ์ของ (a) และ (c) ที่นั่น เนื่องจากในคำแถลงของทฤษฎีบทนี้เราสามารถแทนที่ปัจจัยที่มาบรรจบกันได้เร็วขึ้นโดยการบรรจบกันที่ช้าลงตัวคูณคงที่ของ (31) จะไม่สนใจถ้า m มีขนาดใหญ่พอ นี่คือเหตุผลที่ (H, K) ที่กำหนดโดยบทแทรก 4 มีความเหมาะสมที่นี่ด้วย ดังนั้นจะได้ว่าตามแทรก BorelCantelli นี้อนุมานได้ว่าด้วยความน่าจะเป็น 1, เส้นทางตัวอย่างของ Bm (H) (t) บรรจบกันเป็นกระบวนการ W (H) (t) ในช่วงเวลาที่กะทัดรัด 0, K ใด ๆ จากนั้น W (H) (t) มีเส้นทางตัวอย่างอย่างต่อเนื่องและสืบทอดสมบัติของ B m (H) (t) ที่อธิบายไว้ในส่วนที่ 3 ซึ่งเป็นกระบวนการกึ่งอัตโนมัติที่มีศูนย์กลางและมีการเพิ่มทีละคงที่ ในบทข้อ 5 ข้างล่างนี้กระบวนการที่กำหนดไว้คือ Gaussian ดังนั้น W (H) (t) คือ fBM และโดย (33) อัตราการลู่เข้าของการประมาณคือค่าที่ระบุไว้ในทฤษฎีบท จุดประสงค์ของบทแทรกถัดไปเพื่อแสดงให้เห็นว่าการรวมกันตามส่วนต่างๆนั้นมีผลบังคับใช้สำหรับ (2) แทน W (H) (t) ส่งผลให้สูตรที่คล้ายคลึงกับ (10) จากนั้นก็เป็นไปตามที่สุ่มตัวอย่างโดยประมาณสามารถประมาณโดยการแปลงเชิงเส้นของกระบวนการ Gaussian ดังนั้นจึงยังเป็น Gaussian หลังจากระยะที่สองทางด้านขวามือของ (37) เราหันไประยะที่สาม ใช้เวลาสักครู่ (0, 0) เนื่องจาก h (s, t) มีอนุพันธ์บางส่วนต่อเนื่อง w.r.t. s ในช่วงเวลาที่ 1 และ, t และโดยทฤษฎีบท 1. B m a.s. (35) และ (36) แสดงให้เห็นว่าด้วยเหตุนี้มีอยู่เช่นว่าทฤษฎีบท 1 ยังหมายถึงว่า m สามารถเลือกเพื่อให้ระยะที่สี่ใน (37) หนึ่งในทำนองเดียวกัน มีทฤษฎีบทที่ 2 (หรือมีการแก้ไขการก่อสร้างทฤษฎีบทที่ 3 ด้านล่าง) รับประกันได้ว่า m สามารถเลือกได้เพื่อให้คำแรกใน (37) มีความเท่าเทียมกัน: สี่สูตรสุดท้ายร่วมกันพิสูจน์ lemma (b) และ (d) ของหลักฐานข้อที่ 4 ให้อัตราการลู่เข้าที่แย่กว่าส่วน (a) และ (c) ซึ่งเป็นอัตราที่สามารถคาดเดาได้ให้ได้ผลดีที่สุด เหตุผลนี้เป็นที่เห็นได้ชัดว่าอัตราการลู่เข้าของ RW ที่ใกล้เคียงกับ BM ทั่วไปซึ่งใช้ในส่วน (b) และ (d) แต่ไม่อยู่ในส่วน (a) และ (c) นอกจากนี้ยังเป็นที่ชัดเจนว่าการใช้วิธีประมาณ KMT ที่ดีที่สุดจะช่วยลดจุดอ่อนนี้และหวังว่าจะได้อัตราที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ด้วยเช่นกัน ราคาที่ต้องจ่ายสำหรับขั้นตอนนี้เป็นขั้นตอนที่ยุ่งยากและขึ้นอยู่กับอนาคตโดยที่วิธีการของ KMT จะสร้าง RWs ประมาณที่เหมาะสมจาก BM ผลที่เราต้องการจาก Komls 1975 และ Komls 1976 มีดังนี้ สมมติว่าคุณต้องการกำหนด i.i.d ลำดับ X 1, X 2 ของตัวแปรสุ่มกับการกระจายที่กำหนดเพื่อให้ผลรวมบางส่วนใกล้เคียงกับ BM มากที่สุด สมมติว่า E (X k) 0, Var (X k) 1 และฟังก์ชันสร้างกำลังชั่วขณะ E (e uX k) lt for. ปล่อยให้ S (k) X 1 X k k 1 เป็นผลรวมบางส่วน ถ้าได้รับ BM W (t) (t 0) แล้วสำหรับ n 1 มีลำดับของการแปรสภาพเชิง quantile เชิงเงื่อนไขที่ใช้กับ W (1), W (2), W (n) เพื่อให้ได้รับส่วนที่ต้องการ ผลรวม S (1), S (2) ,, S (n) และความแตกต่างระหว่างสองลำดับคือน้อยที่สุด: สำหรับ x gt0 ที่ C 0, K 0 เป็นค่าคงที่เป็นค่าบวกที่อาจขึ้นอยู่กับการกระจายของ X k แต่ไม่ใช่ใน n หรือ x นอกจากนี้ยังสามารถสร้างขนาดใหญ่โดยพลการได้ด้วยการเลือกขนาดที่ใหญ่พอ C 0 การที่นี่จะได้มาซึ่ง n 1 คือโดยพลการ แก้ไขจำนวนเต็ม m 0 และนำข้อมูลที่เหมือนกันในส่วนก่อนหน้านี้:. จากนั้นให้คูณความไม่เท่ากันภายในใน (42) โดย 2 เมตรและใช้ความคล้ายคลึงกันของ BM (with) เพื่อให้ได้ RW (0 k K 2 2 m) ที่หดตัวลงจากค่าคู่สมมูล W (tk) (0 k K 2 2 m) ของ BM ตามลําดับการแปลงคาเชิงคาเปนเงื่อนไขเพื่อใหมีคาความนาจะนอยกวา K 0 (K 2 2 m) C 0 สำหรับ m 1 และ K gt0 ที่นี่ (19) ถูกใช้ด้วย จากนั้น (43) หมายถึงความแตกต่างของการประมาณสองอย่างต่อเนื่องสำหรับ m 1 และ K gt0 นี่คือสิ่งที่เราต้องการในการปรับปรุงอัตราการรวมกันในส่วน (b) และ (d) ของบทแทรก 4 แทนค่าประมาณของเอ็มทีทีเหล่านี้เป็นความหมาย (8) หรือ (9) ของ B m (H) (t k) ด้วยวิธีนี้เราสามารถหาค่าประมาณของ fBM ได้เร็วขึ้น จากนั้นทุกสิ่งทุกอย่างที่อยู่ใน 3 และ 4 จะยังคงถูกต้องเว้นแต่ว่าจะสามารถใช้สูตรที่ได้รับการปรับปรุง (44) แทนเล็มม่า 3 ในส่วน (b) และ (d) ในการพิสูจน์บทแทรก 4 ด้วยวิธีนี้แทน (21) หนึ่งสำหรับทุก m 1 ยกเว้นความน่าจะเป็นชุดที่มีขนาดเล็กกว่า 2 K 0 (K 2 2 m) C 0 นอกจากนี้โดย (44) แทน (24) และ (25) มีความเหลื่อมล้ำที่ดีขึ้น: ยกเว้นความน่าจะเป็นชุดที่มีค่าน้อยกว่า 2 K 0 (jL 2 2 m) C 0 m 1 ถ้า C 0 ถูกเลือกให้ใหญ่พอเพื่อให้ C 0 2 แล้ว (46) จะถือพร้อมกันสำหรับทุก j 1,2,3 ยกเว้นชุดของความน่าจะน้อยกว่า (โปรดจำไว้ว่าเราเลือก L 4 K ในส่วน (d) ของบทพิสูจน์ 4) จากนั้นใช้ในส่วน (d) ของบทแทรก 4. แทน (26) ต้องประมาณจากนั้นแทน (27) และ (28) ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นมีดังต่อไปนี้ ครั้งแรกในกรณีที่หนึ่งมีค่า m 1 และ C 0 มากพอที่จะทำให้ C 0 2 ยกเว้นค่าความน่าจะเป็นที่น้อยกว่าที่กำหนดโดย (47) ตอนนี้ในกรณีต่อไปนี้สำหรับทุก m 1 และ c 0 มีขนาดใหญ่พอที่ C 0 2 ยกเว้นชุดของความน่าจะน้อยกว่าที่กำหนดโดย (47) เป็นผลให้มีการรวมกันของ H (0,1) เนื่องจากตัวประมาณของ KMT มีอัตราที่ใกล้เคียงที่สุดกับ BM ทั่วไปโดย RW สามารถคาดคะเนได้ว่าอัตราการลู่เข้าที่เกิดขึ้นในบทแทรกและทฤษฎีบทยังดีที่สุดเท่าที่จะทำได้ (นอกเหนือจากตัวคูณคงที่) สำหรับการประมาณค่า fBM โดยการย้ายค่าเฉลี่ยของ RW . Proof รวมผลลัพธ์ของส่วน (a) และ (c) ในหลักฐานข้อที่ 4 และความไม่เท่ากันที่เพิ่มขึ้นข้างต้นนั่นคือใช้ (18) (20) (45) (22) และ (48) และ (49) ที่นี่เราก็เปลี่ยนปัจจัยการบรรจบที่เร็วขึ้นโดยการบรรจบกันช้าลง แต่ตัวคูณคงที่ของเงื่อนไขการรวมกันได้เร็วขึ้นไม่สามารถละเลยเนื่องจาก lemma จะระบุไว้สำหรับ m ใด ๆ 1. ขณะนี้เราสามารถขยายการประมาณค่าที่ดีขึ้นของ fBM เป็นอาร์กิวเมนต์จริง โดยวิธีการแก้ไขเชิงเส้นเช่นเดียวกับที่เราทำกับการประมาณค่าเดิมดู (29) ด้วยวิธีนี้เราจะได้รับการประมาณค่าพารามิเตอร์อย่างต่อเนื่อง (t 0) สำหรับ m 0,1,2 โดยใช้เส้นทางตัวอย่างแบบต่อเนื่อง piecewise ตอนนี้เราสามารถระบุผลลัพธ์หลักที่สองของบทความนี้ได้ ที่ไหนและเหมือนกับในเล็มม่า 6 (ในคำอื่น ๆ ในนิยามของคำยกย่อง 6 ตัวคูณคงที่ 10 จะต้องเปลี่ยนเป็น 20 ที่นี่) ค่าคงที่ถูกกำหนดโดยการประมาณของ KMT (41) ด้วย C 0 ที่เลือก มีขนาดใหญ่มากจน C 0 2. กรณีอธิบายโดย (43) พิสูจน์ได้ว่าเป็นไปตามบรรทัดของหลักฐานข้อ 2 ด้วยข้อยกเว้น: ตัวคูณคงที่ใน (31) และด้วยเหตุนี้ใน (30) จึงไม่สามารถละเลยได้ที่นี่ นี่คือเหตุผลที่ตัวคูณของเล็มม่า 6 ต้องถูกปรับเปลี่ยนในคำแถลงของทฤษฎีบท สามารถคาดเดาได้ว่าอัตราที่ใกล้เคียงที่สุดของ fBM โดยการเคลื่อนที่โดยเฉลี่ยของ RWs แบบง่ายๆอยู่ที่ N คือจำนวนจุดที่พิจารณา แม้ว่าจะดูเหมือนว่าคำนิยามข้างต้นเป็นไปได้ค่อนข้างมาก แต่ดู (8) กับการประมาณของ KMT ส่งผลให้อัตราการลู่เข้าของ H (0,1) มีค่าเท่ากัน แต่ในทฤษฎีบท 3 เราสามารถพิสูจน์อัตรานี้ได้ก็ต่อเมื่อ คำอธิบายที่เป็นไปได้คือในส่วน (b) และ (d) ของบทแทรก 4 เราแยก maxima ของ kernel และส่วน integrator เป็นผลให้อัตราการลู่เข้าที่เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเมื่อใดที่ค่าประมาณของ KMT ต้นแบบ (43) ให้สำหรับ BM ทั่วไปที่ N K 2 2 m แม้ว่าในกรณีนี้เส้นทางตัวอย่างของ fBM จะนุ่มนวลกว่า BM (ดูเช่น Decreusefond และ stnel, 1998) ในทางกลับกันอัตราการลู่เข้าที่ได้รับจะแย่กว่านี้ แต่ก็ยังคิดว่าจะเป็นไปได้ที่ดีที่สุดเมื่อใดที่ heuristically สามารถอธิบายได้โดยเส้นทาง zigzagged เพิ่มเติมของ fBM ในกรณีนี้. Carmona and Coutin 1998 P. คาร์โมนา L. Coutin การเคลื่อนไหว Fractional Brownian และ Markov property Elect. Comm Probab เล่มที่ 3. 1998. หน้า 95107 Decreusefond and stnel 1998 Decreusefond, L. stnel, A.S. 1998. การเคลื่อนที่แบบเศษส่วน Brownian: ทฤษฎีและการประยุกต์ Systmes Diffrentiels Fractionnaires, เอกสารประกอบการ ESAIM ฉบับที่ 5, ปารีส, หน้า 7586. Decreusefond and stnel 1999 L. Decreusefond. เช่น. stnel การวิเคราะห์ Stochastic ของการเคลื่อนไหวของ Brownian Potential Anal Volume 10 1999. หน้า 174214 Feller 1966 W. Feller บทนำทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์ ครั้งที่สอง 2509 ไวลีย์นิวยอร์กอัศวิน 2504 F.B อัศวินในการเดินแบบสุ่มและการเคลื่อนไหว Brownian Trans อาเมอร์ คณิตศาสตร์. Soc เล่มที่ 103. 1961. หน้า 218228 Kolmogorov 1940 A.N. Kolmogorov Wienersche Spiralen und einige andere interessante Kurven im Hilbertschen Raum Doklady A.N S.S.S.R. Volume 26. 1940. หน้า 115118 Komls 1975 J. Komls. P. Major G. Tusndy การประมาณผลรวมบางส่วนของ RVs อิสระและตัวอย่าง DF ฉัน Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete Volume 32. 1975. หน้า 111131 Komls 1976 J. Komls. P. Major G. Tusndy การประมาณผลรวมบางส่วนของ RVs อิสระและตัวอย่าง DF II Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete เล่มที่ 34. 1976. หน้า 3358 Mandelbrot and van Ness 1968 B.B Mandelbrot. J.W. Van Ness การเคลื่อนที่ของเศษส่วน Brownian, เสียงเศษส่วนและการประยุกต์ใช้ SIAM Rev. Volume 10 1968. หน้า 422437 Rvsz 1990 P. Rvsz Random Walk ในสภาพแวดล้อมแบบสุ่มและไม่สุ่ม 1990. World Scientific, สิงคโปร์ Samko 1993 S.G Samko เอเอ Kilbas O.I. Marichev เศษส่วน Integrals และ Derivatives 1993. Gordon amp Breach Science, Yverdon Skorohod พ. ศ. 2508 การศึกษาเกี่ยวกับสโรเนียลในทฤษฎีกระบวนการสุ่ม 2508 แอดดิสัน - เวสลีย์อ่านแมสซาชูเซตส์ Stroock 1993 D.W. ทฤษฎีความน่าจะเป็น Stroock, มุมมอง Analytic 2536 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์เคมบริดจ์ Szabados 1990 Szabados 2533 เป็นสูตร Coll คณิตศาสตร์. Soc Jnos Bolyai 57 ทฤษฎีบท จำกัด ในความน่าจะเป็นและสถิติชิ้น (ฮังการี) 1989 North-Holland, อัมสเตอร์ดัม, หน้า 491502 Szabados 1996 T. Szabados บทนำเบื้องต้นเกี่ยวกับกระบวนการ Wiener และ stochastic integrals Studia Sci คณิตศาสตร์. แขวน. Volume 31. 1996. หน้า 249297 Wiener 1921 N. Wiener ค่าเฉลี่ยของการเคลื่อนไหวเชิงวิเคราะห์และ Brownian Proc. ชัยนาท Acad วิทย์ U.S.A. เล่มที่ 7. 1921. หน้า 294298 Wiener 1923 N. Wiener อวกาศที่แตกต่างกัน J. Math สรวง Volume 2. 1923. หน้า 132174 ลิขสิทธิ์ 2001 Elsevier Science B.V. สงวนลิขสิทธิ์ บทความที่อ้างถึง () ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบ Gaussian, semimartingales และการกำหนดราคาออปชัน Patrick Cheridito ภาควิชาคณิตศาสตร์เอสเธริค CH-8092 Zrich ประเทศสวิตเซอร์แลนด์วันที่ 30 มกราคม 2546. แก้ไขวันที่ 11 มิถุนายน พ.ศ. 2546 ยอมรับ 18 สิงหาคม พ.ศ. 2546 มีวางจำหน่ายในวันที่ 21 กันยายน พ.ศ. 2546 เรามีลักษณะเฉพาะของกระบวนการแบบ Gaussian ด้วยการเพิ่มทีละคงที่ ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่เกี่ยวกับการเคลื่อนไหว Brownian สองด้าน สำหรับกระบวนการดังกล่าวเราให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอที่จะเป็น semimartingale เกี่ยวกับการกรองที่สร้างขึ้นโดยการเคลื่อนไหว Brownian สองด้าน นอกจากนี้เรายังแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขนี้อนุมานได้ว่ากระบวนการนี้เป็นรูปแบบที่ จำกัด หรือมีการเคลื่อนไหวของ Brownian ในแง่ของความน่าจะเป็นเท่ากัน ในฐานะที่เป็นโปรแกรมเราจะหารือเกี่ยวกับปัญหาของการกำหนดราคาทางเลือกในรูปแบบทางการเงินที่ขับเคลื่อนด้วยค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบเกาส์กับการเพิ่มทีละคงที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราได้รับเลือกราคาในรูปแบบเศษส่วนเป็นประจำของแบบจำลอง BlackScholes กระบวนการ Gaussian การเคลื่อนที่เฉลี่ยแทน Semimartingales ค่าพารามิเตอร์ที่เท่ากันการกำหนดราคาทางเลือก 1 บทนำให้มีพื้นที่เป็นไปได้ที่มีการเคลื่อนไหว Brownian สองด้านนั่นคือกระบวนการ Gaussian แบบศูนย์กลางที่มีความแปรปรวนร่วมกันสำหรับฟังก์ชันที่เป็นศูนย์ในแกนจริงเชิงลบและตรงตามความต้องการ สำหรับทุก gt0 หนึ่งสามารถกำหนดกระบวนการ Gaussian ศูนย์กลางกับการเพิ่มขึ้นนิ่ง, วัตถุประสงค์ของบทความนี้คือการศึกษากระบวนการของรูปแบบ (1.1) กับมุมมองในการสร้างแบบจำลองทางการเงิน ถ้าเรามีตัวกรองเล็กที่สุดที่สามารถตอบสนองข้อสมมติฐานตามปกติและมีการกรองเราจะแสดงถึงการกรองที่เล็กที่สุดที่สามารถตอบสนองสมมติฐานตามปกติและมีการกรองโครงสร้างของกระดาษเป็น ดังต่อไปนี้ ในส่วนที่ 2 เราเรียกคืนผลของ Karhunen (1950) ซึ่งให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับกระบวนการ Gaussian stationary centered เพื่อแสดงในรูปแบบที่ ในส่วนที่ 3 เราให้ลักษณะของกระบวนการเหล่านั้นในรูปแบบ (1.1) ที่เป็น - ภาพรวมและเราแสดงให้เห็นว่าพวกเขาเป็นกระบวนการแปรปรวน จำกัด หรือทุก T (0) มีตัววัดความน่าจะเป็นตามที่ (Y t) t 0, T เป็นจำนวนหลายส่วนของการเคลื่อนที่ของ Brownian In Section 4 we apply a transformation introduced in Masani (1972) to establish a one-to-one correspondence between stationary centred Gaussian processes and centred Gaussian processes with stationary increments that are zero for t 0. This allows us to extend Karhunens result to centred Gaussian processes with stationary increments and to show that every process of the form (1.1) can be approximated by semimartingales of the form (1.1). By transferring the results from Section 3 back to the framework of stationary centred Gaussian processes, we obtain an extension of Theorem 6.5 of Knight (1992). which gives a necessary and sufficient condition for a process of the form (1.2) to be an -semimartingale. In Section 5 we discuss the problem of option pricing in financial models driven by processes of the form (1.1). As an example we price a European call option in a regularized fractional BlackScholes model. 2 Stationary Gaussian moving averages Definition 2.1 A stochastic process is stationary if for all , where denotes equality of all finite-dimensional distributions. Definition 2.2 By S we denote the set of functions such that ( t )0 for all t lt0. If S . we can for all , define in the L 2 -sense. It is clear that is a stationary centred Gaussian process. If possible, we choose a right-continuous version. Example 2.3 Let , , for a gt0. Then, S . and is a stationary OrnsteinUhlenbeck process. Remark 2.4 Let S . It can be shown by approximating with continuous functions with compact support, that Hence, t X t is a continuous mapping from to . Moreover, where denotes the L 2 -closure of the linear span of a set of square-integrable random variables. The following theorem follows from Satz 5 in Karhunen (1950) . Theorem 2.5 (Karhunen, 1950 ) Let be a stationary centred Gaussian process such that Hence, exactly the same arguments that show that the standard BlackScholes model is arbitrage-free and complete, can be used to prove that the same is true for the model (5.1). In particular, the unique fair price of a European call option with maturity T and strike price K is given by If is of the form (i) or (ii), then it can easily be regularized: Choose an arbitrary volatility v gt0. By Proposition 4.4. there exists for all gt0 a function of the form (iii) such that and Remark 5.1 (1) Let SI I with (0)0. Obviously, the distribution of the process ( Y t ) t 0, T depends on the whole function . On the other hand, the option price (5.2) depends only on (0). The reason for this is that the option price given by (5.2) is the minimal amount of initial wealth needed to replicate the options pay-off with a trading strategy that can be adjusted continuously in time, and it can be seen from (3.9) that the volatility of the model (5.1) is given by (0). (2) By replacing the function SI in the representation (3.3) by a suitable stochastic process ( t ) t 0, T with values in SI . it should be possible to extend models of the form (5.1) to models with stochastic volatility. Example 5.2 (Regularized fractional BlackScholes model) Let for a positive constant . and c H as in Example 3.3 (b). Then the process is equal to , where is a standard fBm, and the corresponding model (5.1) is a fractional version of the BlackScholes model. For a discussion of the empirical evidence of correlation in stock price returns see, e.g. Cutland et al. (1995) or Willinger et al. (1999) and the references therein. In Klppelberg and Khn (2002) fractional asset price models are motivated by a demonstration that fBm can be seen as a limit of Poisson shot noise processes. However, it follows from Theorem 3.9 (b) that ( B t H ) t 0, T is not a semimartingale with respect to the filtration , and it is well known that it is not a semimartingale in its own filtration either (for a proof in the case see Example 4.9.2 in Liptser and Shiryaev (1989). for a general proof see Maheswaran and Sims (1993) or Rogers (1997) ). It follows from Theorem 7.2 in Delbaen and Schachermayer (1994) that there exists a free lunch with vanishing risk consisting of simple -predictable trading strategies. An early discussion about the existence of arbitrage in fBm models can be found in Maheswaran and Sims (1993). In Rogers (1997) an arbitrage for a linear fBm model is constructed, and it is shown that fBm can be turned into a semimartingale by modifying the function near zero. The arbitrage strategies given in Shiryaev (1998) and Salopek (1998) work for linear and exponential fBm models with . In Cheridito (2003) arbitrage for linear and exponential fBm models is constructed for all . To regularize the fractional BlackScholes model, we can modify the function (5.3) as follows: For v gt0 and d gt0, define It is clear that for given v gt0, Hence, it can be shown as in the proof of Proposition 4.4 that for all gt0 there exists a d gt0 such that On the other hand, since the function v , d is of form (iii), the corresponding model (5.1) is arbitrage-free and complete, and the price of a European call option is given by (5.2) . Acknowledgements This paper grew out of a chapter of the authors doctoral dissertation conducted at the ETH Zrich under the supervision of Freddy Delbaen. The author is thankful to Jan Rosinski and Marc Yor for helpful comments and to Yacine At-Sahalia for an invitation to the Bendheim Center for Finance in Princeton, where a part of the paper was written. Financial support from the Swiss National Science Foundation and Credit Suisse is gratefully acknowledged. References Black and Scholes 1973 F. Black. M. Scholes The pricing of options and corporate liabilities J. Polit. Econom. Volume 81. 1973. pp. 637659 Cheridito 2002 P. Cheridito Sensitivity of the BlackScholes option price to the local path behavior of the stochastic process modeling the underlying asset Proc. Steklov Inst. Math. Volume 237. 2002. pp. 225239 Cheridito 2003 P. Cheridito Arbitrage in fractional Brownian motion models Finance Stochast. Volume 7. Issue 4. 2003. pp. 533553 Cherny 2001 Cherny, A. 2001. When is a moving average a semimartingale Research Report No. 2001-28, MaPhySto, Denmark. Cutland 1995 N.J. Cutland. P.E. Kopp. W. Willinger Stock price returns and the Joseph effect a fractional version of the BlackScholes model Prog. Probab. Volume 36. 1995. pp. 327351 Delbaen and Schachermayer 1994 F. Delbaen. W. Schachermayer A general version of the fundamental theorem of asset pricing Math. Ann. Volume 300. Issue 3. 1994. pp. 463520 Embrechts and Maejima 2002 Embrechts, P. Maejima, M. 2002. Selfsimilar processes. Princeton Series in Applied Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ. Emery 1982 M. Emery Corvariance des semimartingales gaussiennes C. R. Acad. วิทย์ Paris Sr. I Math. Volume 295. Issue 12. 1982. pp. 703705 Galchouk 1984 Galchouk, L.I. 1984. Gaussian semimartingales. Statistics and control of stochastic processes (Moscow), Transl. ser Math. Engrg. Optimization Software, New York, pp. 102121. Harrison 1984 J.M. Harrison. R. Pitbladdo. S.M. Schaefer Continuous price processes in frictionless markets have infinite variation J. Business. Volume 57. 1984. pp. 353365 Hitsuda 1968 M. Hitsuda Representation of Gaussian processes equivalent to Wiener process Osaka J. Math. Volume 5. 1968. pp. 299312 Jain and Monrad 1982 N.C. Jain. D. Monrad Gaussian quasimartingales Z. Wahrsch. hnen; verw Gebiete. Volume 59. Issue 2. 1982. pp. 139159 Jeulin and Yor 1993 Jeulin, T. Yor, M. 1993. Moyennes mobiles et semimartingales. Sminaire de Probabilits, Vol. XXVII, Lecture Notes in Mathematics, No. 1557, Springer, Berlin, pp. 5377. Karatzas and Shreve 1991 I. Karatzas. S.E. Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus. 1991. Springer, Berlin Karhunen 1950 K. Karhunen ber die Struktur stationrer zuflliger Funktionen Ark. Mat. Volume 1. Issue 3. 1950. pp. 141160 Klppelberg and Khn 2002 Klppelberg, C. Khn, C. 2002. Fractional Brownian motion as a weak limit of Poisson shot noise processeswith applications to finance. Preprint. Knight 1992 F.B. Knight Foundations of the Prediction Process. 1992. Oxford University Press, Oxford Kolmogorov 1940 A.N. Kolmogorov Wienersche Spiralen und einige andere interessante Kurven im Hilbertschen Raum C.R. (Doklady) Acad. วิทย์ URSS (N.S.). Volume 26. 1940. pp. 115118 Liptser and Shiryaev 1989 R.Sh. Liptser. A.N. Shiryaev Theory of Martingales. 1989. Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, Hinghant, MA Maheswaran and Sims 1993 Maheswaran, S. Sims, C.A. 1993. Empirical implications of arbitrage-free asset markets. Models, Methods and Applications of Econometrics, Peter, C. Phillips, B. (Eds.), Basil Blackwell, Oxford. Mandelbrot and Van Ness 1968 B.B. Mandelbrot. J.W. Van Ness Fractional Brownian motions, fractional noises and applications SIAM Rev. Volume 10. 1968. pp. 422437 Masani 1972 P. Masani On helixes in Hilbert space I. Theory Probab. Appl. Volume 17. 1972. pp. 119 Protter 1990 P. Protter Stochastic Integration and Differential Equations. 1990. Springer, Berlin Rogers 1997 L.C.G. Rogers Arbitrage with fractional Brownian motion Math. Finance. Volume 7. Issue 1. 1997. pp. 95105 Revuz and Yor 1999 D. Revuz. M. Yor Continuous Martingales and Brownian Motion. 1999. Springer, Berlin Salopek 1998 D.M. Salopek Tolerance to arbitrage Stochast. Process. Appl. Volume 76. Issue 2. 1998. pp. 217230 Samorodnitsky and Taqqu 1994 G. Samorodnitsky. M.S. Taqqu Stable Non-Gaussian Random Processes. 1994. Chapman amp Hall, New York Samuelson 1965 P.A. Samuelson Rational theory of warrant pricing Indust. Manage. Rev. Volume 6. Issue 2. 1965. pp. 1331 Shiryaev 1998 Shiryaev, A.N. 1998. On arbitrage and replication for fractal models. Research Report No. 1998-20, MaPhySto, Denmark. Stricker 1977 C. Stricker Quasimartingales, martingales locales, semimartingales, et filtrations naturelles Zeit. fr Wahrsch. und verw. Gebiete. Volume 39. Issue 1. 1977. pp. 5564 Stricker 1983 C. Stricker Semimartingales gaussiennesapplication au problme de linnovation Z. Wahrsch. hnen; verw Gebiete. Volume 64. Issue 3. 1983. pp. 303312 Stricker 1984 Stricker, C. 1984. Quelques remarques sur les semimartingales Gaussiennes et le problme de linnovation. Lecture Notes in Control and Information Science, Vol. 61, Springer, Berlin, pp. 260276. Willinger 1999 W. Willinger. M.S. Taqqu. V. Teverovsky Stock market prices and long-range dependence Finance Stochast. Volume 3. Issue 1. 1999. pp. 113 Copyright 2003 Elsevier B.V. All rights reserved. Citing articles ( )Starting from the moving average (MA) integral representation of fractional Brownian motion (FBM), the class of fractional LxE9vy processes (FLPs) is introduced by replacing the Brownian motion by a general LxE9vy process with zero mean, finite variance and no Brownian component. We present different methods of constructing FLPs and study second-order and sample path properties. FLPs have the same second-order structure as FBM and, depending on the LxE9vy measure, they are not always semimartingales. We consider integrals with respect to FLPs and MA processes with the long memory property. In particular, we show that the LxE9vy-driven MA process with fractionally integrated kernel coincides with the MA process with the corresponding (not fractionally integrated) kernel and driven by the corresponding FLP. Article information Dates First available in Project Euclid: 4 December 2006 Permanent link to this document projecteuclid.orgeuclid.bj1165269152 Digital Object Identifier doi:10.3150bj1165269152 Marquardt, Tina. Fractional LxE9vy processes with an application to long memory moving average processes. Bernoulli 12 (2006), no. 6, 1099--1126. doi:10.3150bj1165269152. projecteuclid.orgeuclid.bj1165269152. Export citation References 1 Barndorff-Nielsen, O.E. and Shephard, N. (2001) Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck based models and some of their uses in financial economics (with discussion). J. Roy. Statist. Soc ser B, 63, 167-241. 2 Benassi, A. Cohen, S. and Istas, J. (2004) On roughness indices for fractional fields. Bernoulli, 10, 357-373.3 Bender, C. (2003) Integration with respect to a fractional Brownian motion and related market models. Doctoral thesis, University of Konstanz. 4 Brockwell, P.J. (2001) LxE9vy-driven CARMA processes. Ann. Inst. Statist. Math. 52, 1-18. 5 Brockwell, P.J. (2004) Representations of continuous-time ARMA processes. J. Appl. Probab. 41A, 375-382.6 Brockwell, P.J. and Marquardt, T. (2005) LxE9vy driven and fractionally integrated ARMA processes with continuous time parameter. Statist. Sinica, 15, 477-494. 7 Cohen, S. Lacaux, C. and Ledoux, M. (2005) A general framework for simulation of fractional fields. Preprint, UniversitxE9 Paul Sabatier, Toulouse. lsp.ups-tlse.frFpCohen.8 Cont, R. and Tankov, P. (2004) Financial Modelling with Jump Processes. Boca Raton, FL: Chapmann amp HallCRC.Mathematical Reviews (MathSciNet): MR2042661 9 Decreusefond, L. and Savy, N. (2004) Anticipative calculus for filtered Poisson processes. Preprint. perso.enst.fr10 Decreusefond, L. and xDCstxFCnel, A.S. (1999) Stochastic analysis of the fractional Brownian motion. Potential Anal. 10, 177-214.11 Doukhan, P. Oppenheim, G. and Taqqu, M.S. (2003) Theory and Applications of Long-Range Dependence, Boston: BirkhxE4user. 12 Duncan, T.E. Hu, Y. and Pasik-Duncan, B. (2000) Stochastic calculus for fractional Brownian motion I. Theory. SIAM J. Control. Optim. 28, 582-612.13 Eberlein, E. and Raible, S. (1999) Term structure models driven by general LxE9vy processes. Math. Finance, 9, 31-53.14 Fasen, V. (2004) Extremes of LxE9vy driven moving average processes with application in finance. Doctoral thesis, Munich University of Technology. 15 Gripenberg, N. and Norros, I. (1996) On the prediction of fractional Brownian motion. J. Appl. Probab. 33, 400-410.16 Kallenberg, O. (1997) Foundations of Modern Probability. New York: Springer-Verlag.Mathematical Reviews (MathSciNet): MR1464694 17 LoxE8ve, M. (1960) Probability Theory. Princeton, NJ: Van Nordstrand. 18 Mandelbrot, B.B. and Van Ness, J.W. (1968) Fractional Brownian motions, fractional noises and applications. SIAM Rev. 10, 422-437.19 Marcus, M.B. and Rosinski, J. (2005) Continuity and boundedness of infinitely divisible processes: a Poisson point process approach. J. Theoret. Probab. 18, 109-160.20 Nualart, D. (2003) Stochastic calculus with respect to the fractional Brownian motion and applications. In J.M. GonzxE1lez-Barrios, J.A. LeoxB4n and A. Meda (eds), Stochastic Models: Seventh Symposium on Probability and Stochastic Processes, Contemp. Math. 336, pp. 3-39. Providence, RI: American Mathematical Society. 21 Pipiras, V. and Taqqu, M. (2000) Integration questions related to fractional Brownian motion. Probab. Theory Related Fields, 118, 251-291.22 Protter, P. (2004) Stochastic Integration and Differential Equations, 2 edn. New York: Springer-Verlag.Mathematical Reviews (MathSciNet): MR2020294 23 Rajput, B.S. and Rosinski, J. (1989) Spectral representations of infinitely divisible processes. Probab. Theory Related Fields, 82, 451-487.24 Rosinski, J. (1989) On path properties of certain infinitely divisible processes, Stochastic Process. Appl. 33, 73-87.25 Rosinski, J. (1990) On series representations of infinitely divisible random vectors. Ann. Probab. 18, 405-430.26 Rosinski, J. (2002) Series representations of LxE9vy processes from the perspective of point processes. In O.E. Barndorff-Nielsen, T. Mikosch and S. Resnick (eds), LxE9vy Processes - Theory and Applications, pp. 401-415. Boston: BirkhxE4user. 27 Samko, S.G. Kilbas, A.A. and Marichev, O.I. (1993) Fractional Integrals and Derivatives. Lausanne: Gordon and Breach.Mathematical Reviews (MathSciNet): MR1347689 28 Samorodnitsky, G. and Taqqu, M. (1994) Stable Non-Gaussian Random Processes: Stochastic Models with Infinite Variance. New York: Chapman amp Hall.29 Sato, K. (1999) LxE9vy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge: Cambridge University Press. 30 Shiryaev, A.N. (1996) Probability. New York: Springer-Verlag.Mathematical Reviews (MathSciNet): MR1368405 31 ZxE4hle, M. (1998) Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus. Probab. Theory Related Fields, 111, 333-374.
Binary   ตัวเลือก กลยุทธ์ ที่สำคัญ - ตัวชี้วัด
Forex- ระบบ -17